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The Questers!!
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4 次元球
# 大学入ってから高校のとき以上に忙しいのは予想外だった。
# これはちょっとした言い訳だ。
僕たちの世界は 4 つの物理次元がある。「ちょっとまて 3 次元じゃないか」という人は、時間軸も勘定に入れてほしい。ある瞬間における空間内の物体を考えることはつまり、時空間内において時間軸の値 (時刻) を固定した上で、ある特定の空間だけを計算にいれる "偏微分" のようなものだと認識したい。
さて、上のとおりに考えたとすれば、4 次元の球のイメージもたやすい。3 次元球は (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2 として表式されるが、これを応用すれば 4 次元球は (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2+(t-d)^2=r^2 となる。もちろん三平方の定理が n 次元に一般化できることを前提とする。これをイメージできるように言い換えれば、時刻 r-d+ε に球が姿を現し、その後だんだんと大きくなり、時刻 d に対応する 3 次元球と同じ大きさになる。そして今度は小さくなっていき、時刻 r+d に消滅する。このようなイメージをすればいい (厳密には等価とはいえない)。
で、なんで急にこんなことを言い出したかといえば、かねてから接吻数問題というものを考えていたからだ。接吻数とは、ある単位球に外接し、さらに互いに交わらないように単位球を配置したとき、最大でいくつまで単位球を配置できるか、という数のことだ。ヒルベルト問題の 18 番目では一般的に問題提起されている。今のところ、5 次元が不明な中では最低だ。
ちなみに、3 次元の接吻数はついこの間まで証明されなかった。もちろん化学における面心立方格子か六方最密充填構造を考えれば 12 であることは明白だ。ただ、これ (ケプラー予想、と呼ばれる) の証明がなされたのは 10 年ちょっと前だったと思う。直感が必ずしも簡単に証明できるわけではないというものの好例だ。
これ以上、素人である僕が何か言ったら間違えを言うかもしれないので、何も書かないことにする。それに、そこまで数学を本気でやるつもりはないので 5 次元での接吻数がいくつかということには興味ないが、もし間違って数学科に進学するようなことがあればそんなことを考える日もくるかも知れぬ。
# というか・・・絶対に素数のほうが面白いって・・・。
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